今回は久々に数字と格闘してみましょうか。
逆数と有理化についてです。
逆数？有理化？とタイトルを見て「何を言っているのかしら？」と思ったのに、気が付いたらこのページを開いてしまったかたにも分かりやすく説明できるように頑張ります。
最初に逆数と有理化について説明しておきたいと思います。
逆数とは
「逆数」とはある数字に掛け算をすると答えが「1」になる数字を言います。
つまり、ある数字「2」に何を掛けると答えが「1」になるかと言うと、「1/2」になります。
1以外の自然数では、同じ数字の分数を掛けると答えは1となります。
複素数や虚数単位などで色々突き詰めていくと、逆数というのは色々な形があります。
分数の掛け算というのは、日本だとたぶん小学生の高学年くらいで習うと思うので、「約分すると答えが1になるよね」という割と基本的な部分で覚えている人がほとんどでしょう。
そしてさらに進んで、方程式が出てくるとこの「逆数で1にする」と言う場面がよく使われるようになります。
これ昔、ピュアな人がいたんですよ。
なんでxの答えを求めようとすると、「急に”2分の3”と言う数字が右と左に2つも勝手に出てくるの？」と不思議がるわけです。
みたいに説明しても、「”2分の3”」の出所を知りたがるんですよね～(笑)
今ならもう少し分かりやすく説明できるかもしれませんけど、当時の中学生が中学生に教えるのではたかが知れていますし。
それまでの小学生とかの算数であれば、左辺を計算した結果が右辺で分かりましたよね。「1＋1＝2」みたいな・・。
このピュアな人は、目に見える数字だけを解けば今までは出てきた答えが、自分で新たに数字を作って、それを掛けて・・・そもそもxって何だっけ？と色んな問題に頭を悩ませていったわけです。
そして少しずつ数学に対する崩壊の兆しも見えていったような気がします。
思えばこの辺りから本当に数学が苦手になった人も増えたのではないか、というくらい「逆数」というのは数学を苦手に感じるターニングポイントの1つに挙げてもいいかもしれませんね。
最後に見たxを求める方程式のように、逆数と言うのは計算において非常に便利に使える場面があるのです。
それが今回のお話に繋がっていきます。
それは一旦置いておいて、続いて「有理化」についてお話しておきましょう。
有理化とは
さらに数学の学習が進むと「平方根」が出てきます。
そう「ルート(√)」ですね。だいたい以下のような感じで覚えているでしょうか。
同じ数字同士を掛けて出た答えが「自然数」であっても、この同じ数字同士が整数とは限らず、小数点になってしまう場合もあります。
一桁であれば2、3、5、6、7、8は掛ける同じ数字は小数点になりますね
最終的な答えを「√」で表示するわけです。
√4は2を掛けたもの、√9は3を掛けたものと整数になる一方で、√2は約1.41421356のように小数点を掛けたものになるのです。
「√4」であれば2が平方根であり、「√9」であれば平方根は3です。
そして以下のように、元の数字と元の数字を掛けると√が取れた元の数字となります。
さてここで「有理化」の説明に入ります。
「有理化」とは分数において分母に「√」を含まないように変形してあげる処理を言います。
分母、つまり「割る数」には「√」がない方がスマートで計算しやすいために、「√」が分母にあったら「必ず有理化する」と覚えておきましょう。
上のような「√2+1分の3」という式があったとします。
分母に「√」があるので、これを有理化します。
分母と分子にそれぞれ「√2-1」を掛けます。分母と分子に同じ数字を掛けても結局答えは一緒になるわけで、その性質を利用しています。
そうすると、「(x+y)(x-y)=x²-y²」の形ができ上がり、先ほど見たように「√2²＝√2×√2＝2」の式が使えるので、分母が整数だけになるのです。
有理化するために逆数を使う
さてここまでの逆数と有理化を踏まえて、以下のような平方根が足し算で羅列された分数問題を解いてみましょう。
この計算って、別にすべての√を小数点で出して計算してもいいんですよ。例えば・・
エクセルで「SQRT」関数で15までの平方根を調べておいて、それぞれ上の√を小数点にします。
√1は1だし、√9は3なので、それ以外を小数点にして計算すると以下のようになります。
全て√を外して、整数と小数点の足し算をして、最後に分子を分母で割ると、最終的にこの式の答えは「1.618033」と出ました。
でもエクセルがなくて頼みのAIも使えず、すぐに平方根が求められなかったら・・・最初の式の時点で、もう少しスマートに√だけの計算で何とか簡単にできれば、と思いますよね。
では、この式を計算しやすいように変形してみたいと思います。
とりあえず何だか同じような数値が揃っている形まで持ってこれました。
でもこの形だと有理化に持っていけないので、何とか有理化できる形に持っていきたいと思います。
上のように分母と分子を”一旦”逆にして計算すると、有理化できる状態に持って行けそうですね。
ひっくり返した状態までの答えが出ました。
では、A(答え)を元に戻しましょう。
再度有理化をして、最終の答えが出ました。ずいぶんすっきりした答えになりましたね。
一応「√5」を小数点にして計算して確認してみると・・先ほどすべて小数点に変えて計算した答えと同じになりました。
(まとめ)大事な部分がいっぱい詰まった良問
これは単なる数学の問題ではなく、ビジネスにおいても大事な部分がたくさん詰まった良問だと思います。
数学オリンピックに出題された問題らしいです
「有理化」なんてのは学生時代に聞いたっきり久々に見たかたも多くいらっしゃったでしょう。
ただ平方根を使った計算と言うのは、以下のような多岐に渡る場面で使われています。
- 建築・土木
- 測量
- 製品の設計
- CG(コンピューターグラフィックス)
- データサイエンス
- 統計データの分析
- 金融商品のリスク評価
ミスが起きないようになるべく計算を簡素化できるのであればどんどん変形させていったり、分母に余計な物を残さなかったり、一方向から見ただけでは答えにたどり着かないから数字を逆にして考えてみたり・・。
最初に見た式は「うわぁ、何これ？」と難題だと思っても、一つ一つ丁寧に対応していくと、もの凄く綺麗にそろった式ができ上る。それでもまだ何かうまく行かなければ、逆さにして確認してみる。
ビジネスでは数学のように決まった答えが出ない場面も多々あると思います。
でもこの問題のように、分かりづらいものをいかに分かりやすくして様々な角度から検証して、というのはまさにビジネスにおいても同じです。
根っこは同じなんですね(平方根なだけに)。
今日はこれが言いたかっただけなんですが、長々と計算式を羅列してしまいました。
最後まで読んでくださったかたには本当に感謝です！
